关于垛积术的疑惑
这是由于在做一道求极限的运算题引发的，原题要用到求我记得以前学过这个，但那时没有认真对待数学。因此上网查了一下发现要用到这个公式
在网上看了用数学归纳法的证明，知道这个结果的前提下，再用数学归纳法证明是很简单的事情。可是问题是，在看到这个结果之前，他怎么想到这个规律呢？带着这个疑问，我在网上搜了一下。原来我国古代很早就研究过这一类问题，还包括：
,
并总结出了这样的公式。真是厉害啊。他们都用到了叫“垛积术”的方法。目前我没有找到详细的资料，还没有想明白。希望有知道的朋友能介绍点资料。
我看到其中一个思路如下：
这样，就形成一个等差数列了。
用等差数列求和公式可得:
从而有：
结合垛积术，相当于这里有3堆，先求3堆的总和，然后再除以3，得到结果。我画出了当n=4时，第一堆和第而堆。第三堆，应该是变形才能画出来，图形如下：
可能我的理解有误吧，写出来的目的是希望能有高手指点，或者能有人告诉我，哪里能找到垛积术的详细资料。谢谢！
柯西(Cauchy)收敛准则
当一个数列的极限不是很容易求出来时，那么首要任务就是判断其极限是否存在，只有肯定了极限的存在后，再设法计算其极限。因此柯西收敛准则的重要性不言而喻。
对于这个定理的推导，课本上用到致密性定理，又是看了能看懂，但是自己看之前想不到的感觉，因此记录一下自己的思路。
致密性定理：任一有界数列必有收敛的子序列。
要看数列是否收敛，首先想到有界，这是很自然的，因为如果没有界，则肯定不是收敛的了。但是他怎么就和有界数列的子序列联系起来了呢？致密性定理是柯西收敛准则总结出来就有的吗？柯西也用这个定理来完成他的推理了？
虽然致密性定理相对来说比较简单，而且我的课本上，致密性定理也是在柯西收敛准则之前的。换句话说，当我学完致密性定理后，开始看课本上的柯西收敛准则，然后我在琢磨怎么推导柯西收敛准则时，压根就没有把他和致密性定理想到一块。
我推导过程没有用致密性定理，用了极限的定义和确界定义，似乎也没有漏洞。废话少说，学习笔记如下：
柯西(Cauchy)收敛准则:
数列有极限
, 有
必要性: 设
, 则
时，有:
从而可以得到，，有：
有了前面 极限唯一性 和 极限的保序性 的学习，必要性的证明过程再简单不过了。
充分性，既：由得出数列收敛的结论。要看极限是否存在，首先想到判别是否有界，这是很容易想到的了。
当给定一个后，N的值也就确定了，而m,n都是大于N的。由于
, 因此接下来只讨论
的情况就可以了。既然N确定了，不管它有多大，始终都是一个有限值，从有限项
取一个最大值都是可以的。于是：记
, 而对于这个数列后面可能有无限项，于是是否有界的问题就转化成考察位于N之后的无限项是否有界。由于：
, 恒成立，因此取m=N+1,n>m这样做的目的是把每一项都考虑进来，然后考虑那一项最大或最小。由于前面已经考虑了前N项，所以现在从N+1项开始考察。由代数的不等式规则有：
这就意味着，后面所有的项目都比要小。于是，界线问题就只需要考虑：
了，对于任意给定的
，只要
,那么N以及
都是可以计算出来的。因此数列有界。
这里课本上假设，然后3，5行就证明出来了，我根据自己的思路在这扯了一通。其实设为任何值都是可以的。
确定有界了，但是有界不一定有极限啊，例如有界，但不收敛。然后课本用致密性定理证明了它是有极限的。在看答案之前，我的确想不到。经过了痛苦的挣扎后，我首先想到的是，单调有界数列必有极限。又挣扎之后，我发现根据
来证明它是单调的，这对我来说似乎很难啊。于是之后，我很自然的想到了有界的定义。主要是第二点：
这里还是都加个绝对值符号，考虑是上界的情况吧，下界的道理是一样的，不妨设上确界为|a|。
显然，设是
中最大的，则有：
由此有：
1.
由已知：
2.
把1和2相加，有：
有代数不等式规则有：
从而得到，此数列收敛于。
注意：先睡觉吧！改天再扯！
极限的保序性
已知, 且
， 则
，
，有
。
课本的证明又一次用选用了 ！虽然证明过程简单明了，还是老问题，他怎么想到选这个呢？这里就不列出课本的证明了。我的推理如下：
根据极限定义有：
注意，这里同一个对
对应一个
，对
对应一个
，
不一定等于
。既：
由已知条件，，因此，一定可以找到一个
使得
成立。既：
，有
，可进一步推算出，在此条件下，
。
由不等式的递推关系式可进一步得到
从而得到：
，使得
。
这就可以了吗？实则不然，命题是说，
，有
。而到目前，我们只是证明了以下结论：
，
，有
。
但是对于或
时，
是不是恒成立的，则需要另作讨论。
这时我不禁想到，当之后，
有没有可能“追上”
呢？ 不妨再回到前面的那个不等式：
取，则有：
这就意味着，从以后，所有的
都大于
, 所有的
都要小于
，因此从这以后
就不可能再“追上”
了！
最后还是回到了课本上的设 ，但似乎也知道他为啥要这么设置了！
反过来，若已知数列极限存在，且
有
，则有
, 证明方法是一样的。考虑下面这个说明了啥？
有：
但：
有：
但：
说明了啥？
极限唯一性
若数列的极限存在，则极限值是唯一的。
看了很多数学教材，证明过程都选取了一个，证明过程虽然简洁明了，而取
也是很容易想到的，但他是怎么想到了个
呢？这先给出课本的证明过程，后面是我的推理过程！
设数列有两个不相等的极限值
、
，
，则有
，总可以找到一个正整数
，当
时，总满足下列不等式：
另一方面有：
由代数的不等式公式可得：
即有
这于假设矛盾，因此极限唯一。
证明过程很简洁明了，可问题是，他怎么就想到在这里，选呢？这对我来说，总有一种感觉，就是看了别人的能看懂，但是换做自己，则想不到。因此我按我的理解，证明了一下，过程如下：
对于同一个，分别有
根据极限定义有：
这里n1不一定等于n2，但是根据极限定义，我们取n=Max(n1, n2)，从而有：
由于，无非有两种情况，
或者
，对于
，由于在极限定义中，
是可以任意选取的大于0的数，因此总可以找到一个
满足以下条件：
由不等式递推，可得：
既得到，，这显然是不可能的，因为对任意自然数
，都有
。
同理对于的情况，总可以找到一个
满足以下条件：
也得到，的结论。因此无论
还是
的情况，都可以找到一个反例子。所以假设不成立。推理到这里，我终于理解课本要选取
了。
我的推理过程应该也没有漏洞吧，:)