极限唯一性
若数列[tex]\left \{ x_n \right \}[/tex]的极限存在，则极限值是唯一的。
看了很多数学教材，证明过程都选取了一个[tex] \left \vert a-b \right \vert = \frac{d}{2}[/tex]，证明过程虽然简洁明了，而取[tex] \left \vert a-b \right \vert [/tex]也是很容易想到的，但他是怎么想到了个[tex]\frac{d}{2}[/tex]呢？这先给出课本的证明过程，后面是我的推理过程！
设数列[tex]\left \{ x_n \right \}[/tex]有两个不相等的极限值[tex]a[/tex]、[tex]b[/tex]，[tex]a \neq b[/tex]，则有[tex] d = \left \vert a-b \right \vert > 0[/tex]，总可以找到一个正整数[tex]\mathbf{N}[/tex]，当[tex]n>\mathbf{N}[/tex]时，总满足下列不等式：
[tex]\left \vert x_n - a \right \vert < \frac{d}{2}[/tex]
[tex]\left \vert x_n - b \right \vert < \frac{d}{2}[/tex]
另一方面有：
[tex] \left \vert a - b \right \vert = \left \vert a - x_n + x_n - b \right \vert = \left \vert (x_n - a) - (x_n - b) \right \vert [/tex]
由代数的不等式公式可得：
[tex] \left \vert (x_n - a) - (x_n - b) \right \vert \leq \left \vert (x_n - a) \right \vert + \left \vert (x_n - b) \right \vert = d[/tex]
即有
[tex] \left \vert a - b \right \vert < d [/tex]
这于假设[tex] d = \left \vert a-b \right \vert > 0[/tex]矛盾，因此极限唯一。
证明过程很简洁明了，可问题是，他怎么就想到在这里，选[tex]\varepsilon = \frac{d}{2}[/tex]呢？这对我来说，总有一种感觉，就是看了别人的能看懂，但是换做自己，则想不到。因此我按我的理解，证明了一下，过程如下：
对于同一个[tex]\varepsilon[/tex]，分别有[tex]n1, n2[/tex]根据极限定义有：
[tex]\left \vert x_{n1} - a \right \vert <\varepsilon [/tex]
[tex]\left \vert x_{n1} - b \right \vert < \varepsilon [/tex]
这里n1不一定等于n2，但是根据极限定义，我们取n=Max(n1, n2)，从而有：
[tex]{\color{red}{a - \varepsilon}} < x_n < {\color{blue}{a + \varepsilon}}[/tex]
[tex]{\color{blue}{b - \varepsilon}} < x_n < {\color{red}{b + \varepsilon}} [/tex]
由于[tex] a \neq b[/tex]，无非有两种情况，[tex] a>b[/tex] 或者 [tex]a<b[/tex]，对于[tex] a>b[/tex]，由于在极限定义中，[tex]\varepsilon[/tex]是可以任意选取的大于0的数，因此总可以找到一个[tex]\varepsilon[/tex]满足以下条件：
[tex]{\color{red}{a - \varepsilon}} = {\color{red}{b + \varepsilon}}[/tex]
由不等式递推，可得：
[tex]{x_n < (\color{red}{b + \varepsilon}} = {\color{red}{a - \varepsilon}}) < {\color{blue}{x_n}} [/tex]
既得到，[tex] x_n < x_n [/tex]，这显然是不可能的，因为对任意自然数[tex]\mathbf{N}[/tex]，都有[tex] x_n = x_n [/tex]。
同理对于[tex] a<b[/tex]的情况，总可以找到一个[tex]\varepsilon>0[/tex]满足以下条件：
[tex]{\color{blue}{b - \varepsilon}} = {\color{blue}{a + \varepsilon}}[/tex]
也得到，[tex] x_n < x_n [/tex]的结论。因此无论[tex]a<b[/tex]还是[tex]a>[/tex]的情况，都可以找到一个反例子。所以假设不成立。推理到这里，我终于理解课本要选取[tex]\varepsilon = \frac{d}{2}[/tex]了。
我的推理过程应该也没有漏洞吧，:)
2010年9月27日 20:26
你是自学？是看高数还是数分？给你个建议最好不要用颜色来表示区别（如倒数的第二个行间公式），不然很容易出现你后面忘记标注颜色的情形，而且这样做有点混乱。可以使用 $x_{n1},x_{n2}$ 这样的（书上不就是用这种方式吗？）
而为什么要设 $\varepsilon=d/2$ 说白了因为如果数列有极限，那么除了有限项外都应在其极限的邻域内，假设两个有极限，则总能找到一个 $N$ 使得 $\forall n>N$ 都有 $x_n$ 既在 $a$ 的邻域内，又在 $b$ 的邻域内，缩小邻域（使 $\varepdilon <d/2$)，就能发现明显的矛盾，所以你设成 $\varepsilon=d/3$ 也是可以的。
2010年9月28日 03:29
@views63: 又找到有网络共同语言的人了 :)
2010年9月28日 03:52
@views63: 嗯，根据你的建议，我改成n1, n2了。不等式两边的颜色就留着吧。以后不用颜色来区分了。呵呵！
以前大学学过，但是基本是考试前死背公式混过的。现在实际中的很多资料讲傅立叶变换啊，卷积啊等的。看不懂，所以自己又来看看了，悔不当初啊！我看的是高等教育出版社的高等数学！
其实我后来也理解了$varepsilon=\frac{d}{2}$是任意选的，取$varepsilon=\frac{d}{4}$，主要是，刚开始，我看懂了书上的证明，但是觉得他怎么想到了取个$varepsilon=\frac{d}{2}$，于是就自己分析了下，可能会的人看了觉得画蛇添足吧，但认知总是从深入浅的。谢谢指教！:)
2010年9月28日 06:07
@Garfileo: 握个手！:)
2010年9月29日 19:05
@Garfileo: 这次又让你看到了:) 才下想起来上次 cloudly 那边就被你看到了。诚如你所说的，没的讨论。在网上能说的只是一点点（水平不够，也没那个耐心，自己又懒，打字都不想打）。还是面对面拿着笔、纸比划说问题更好。
@独孤求真：原来你已经毕业了。考试前死背公式混过，我也不少，如模糊数学、运筹学。想更详细/清楚了解分析，还是看数学分析吧，至于这方面的书，网上有个数学专业参考书整理（http://www.bossh.net/viewthread.php?tid=3028 这里就有）可以参考一下。
好为人师确实是很不好的，何况自己也是很差的。从你上面文章看觉得你绕了一圈还是说得不太清楚，我就有点急了。我这人说话很直接，语言上如有冒犯的地方还请见谅。
2010年9月29日 20:56
@views63: 有个热心的人讨论，我觉得很好啊！就像你说的，可惜就是网上写数学表达式不太方便。数学分析，我也打算看呢？因为前不久我在一本北大数学分析的课本，上册中看到其中一节《开普勒行星运动定律与牛顿万有引力定律》，介绍了在开普勒行星运行规律的基础上推导出了万有引力公式。
虽然我没看懂，但是我记得上高中时，学到物理中的万有引力公式，我始终觉得，太神奇了，牛顿怎么想到这个公式的呀？在地球上，他根本没办法用任何实验来总结计算啊。到此，原来他不是在地球上做了什么实验，或者凭空想出来的。
看到这，我还是觉得很震惊的！没有学好数学的遗憾又随之增加了。
没有啥冒犯不冒犯的，你的数学很好，至少比我好，呵呵！我很羡慕，也很热心，希望有机会能像你学习。