极限唯一性
若数列[tex]\left \{ x_n \right \}[/tex]的极限存在，则极限值是唯一的。
看了很多数学教材，证明过程都选取了一个[tex] \left \vert a-b \right \vert = \frac{d}{2}[/tex]，证明过程虽然简洁明了，而取[tex] \left \vert a-b \right \vert [/tex]也是很容易想到的，但他是怎么想到了个[tex]\frac{d}{2}[/tex]呢？这先给出课本的证明过程，后面是我的推理过程！
设数列[tex]\left \{ x_n \right \}[/tex]有两个不相等的极限值[tex]a[/tex]、[tex]b[/tex]，[tex]a \neq b[/tex]，则有[tex] d = \left \vert a-b \right \vert > 0[/tex]，总可以找到一个正整数[tex]\mathbf{N}[/tex]，当[tex]n>\mathbf{N}[/tex]时，总满足下列不等式：
[tex]\left \vert x_n - a \right \vert < \frac{d}{2}[/tex]
[tex]\left \vert x_n - b \right \vert < \frac{d}{2}[/tex]
另一方面有：
[tex] \left \vert a - b \right \vert = \left \vert a - x_n + x_n - b \right \vert = \left \vert (x_n - a) - (x_n - b) \right \vert [/tex]
由代数的不等式公式可得：
[tex] \left \vert (x_n - a) - (x_n - b) \right \vert \leq \left \vert (x_n - a) \right \vert + \left \vert (x_n - b) \right \vert = d[/tex]
即有
[tex] \left \vert a - b \right \vert < d [/tex]
这于假设[tex] d = \left \vert a-b \right \vert > 0[/tex]矛盾，因此极限唯一。
证明过程很简洁明了，可问题是，他怎么就想到在这里，选[tex]\varepsilon = \frac{d}{2}[/tex]呢？这对我来说，总有一种感觉，就是看了别人的能看懂，但是换做自己，则想不到。因此我按我的理解，证明了一下，过程如下：
对于同一个[tex]\varepsilon[/tex]，分别有[tex]n1, n2[/tex]根据极限定义有：
[tex]\left \vert x_{n1} - a \right \vert <\varepsilon [/tex]
[tex]\left \vert x_{n1} - b \right \vert < \varepsilon [/tex]
这里n1不一定等于n2，但是根据极限定义，我们取n=Max(n1, n2)，从而有：
[tex]{\color{red}{a - \varepsilon}} < x_n < {\color{blue}{a + \varepsilon}}[/tex]
[tex]{\color{blue}{b - \varepsilon}} < x_n < {\color{red}{b + \varepsilon}} [/tex]
由于[tex] a \neq b[/tex]，无非有两种情况，[tex] a>b[/tex] 或者 [tex]a<b[/tex]，对于[tex] a>b[/tex]，由于在极限定义中，[tex]\varepsilon[/tex]是可以任意选取的大于0的数，因此总可以找到一个[tex]\varepsilon[/tex]满足以下条件：
[tex]{\color{red}{a - \varepsilon}} = {\color{red}{b + \varepsilon}}[/tex]
由不等式递推，可得：
[tex]{x_n < (\color{red}{b + \varepsilon}} = {\color{red}{a - \varepsilon}}) < {\color{blue}{x_n}} [/tex]
既得到，[tex] x_n < x_n [/tex]，这显然是不可能的，因为对任意自然数[tex]\mathbf{N}[/tex]，都有[tex] x_n = x_n [/tex]。
同理对于[tex] a<b[/tex]的情况，总可以找到一个[tex]\varepsilon>0[/tex]满足以下条件：
[tex]{\color{blue}{b - \varepsilon}} = {\color{blue}{a + \varepsilon}}[/tex]
也得到，[tex] x_n < x_n [/tex]的结论。因此无论[tex]a<b[/tex]还是[tex]a>[/tex]的情况，都可以找到一个反例子。所以假设不成立。推理到这里，我终于理解课本要选取[tex]\varepsilon = \frac{d}{2}[/tex]了。
我的推理过程应该也没有漏洞吧，:)