极限的保序性

独孤求真 posted @ 2010年9月26日 07:08 in 数学学习 with tags 极限保序性;a-b/2 , 3236 阅读

已知[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a, \lim_{n \rightarrow \infty} y_n = b[/tex], 且 [tex]a>b[/tex], 则[tex]\exists N \in \mathbf{N}[/tex],[tex] \forall n>N[/tex],有[tex]x_n > y_n[/tex] 。

课本的证明又一次用选用了[tex]\varepsilon = \frac{a-b}{2}[/tex] !虽然证明过程简单明了,还是老问题,他怎么想到选这个呢?这里就不列出课本的证明了。我的推理如下:

根据极限定义有:

[tex] \left \vert x_n - a \right \vert < \varepsilon [/tex]

[tex] \left \vert y_n - b \right \vert < \varepsilon [/tex]

注意,这里同一个[tex]\varepsilon[/tex]对[tex]a_n[/tex]对应一个[tex]N_1[/tex],对[tex]b_n[/tex]对应一个[tex]N_2[/tex],[tex]N_1[/tex]不一定等于[tex]N_2[/tex]。既:

[tex]{\color{red}{a - \varepsilon}} < x_n < {\color{blue}{a + \varepsilon}}[/tex]

[tex]{\color{blue}{b - \varepsilon}} < y_n < {\color{red}{b + \varepsilon}} [/tex]

由已知条件,[tex]a>b[/tex],因此,一定可以找到一个[tex]\varepsilon > 0[/tex]使得[tex] a-\varepsilon = b+\varepsilon[/tex]成立。既:[tex] \exists \varepsilon > 0 [/tex],有[tex] a-\varepsilon = b+\varepsilon[/tex],可进一步推算出,在此条件下,[tex] a-b = 2\varepsilon[/tex]。

由不等式的递推关系式可进一步得到

[tex] y_n < ({\color{red}{b + \varepsilon}} = {\color{red}{a - \varepsilon}}) < x_n [/tex]

从而得到:

[tex] \exists \varepsilon[/tex],使得 [tex] x_n > y_n [/tex]。

这就可以了吗?实则不然,命题是说[tex]\exists N \in \mathbf{N}[/tex],[tex] \forall n>N[/tex],有[tex]x_n > y_n[/tex] 。而到目前,我们只是证明了以下结论:

[tex] \exists \varepsilon = \frac{a-b}{2} > 0 [/tex],[tex] \exists N_1 \in \mathbf{N},  \exists N_2 \in \mathbf{N} [/tex],有[tex] x_n > y_n [/tex]。

但是对于[tex] n>N_1[/tex]或[tex] n>N_2[/tex]时,[tex]x_n > y_n[/tex]是不是恒成立的,则需要另作讨论。

这时我不禁想到,当[tex] n > N_n[/tex]之后,[tex] y_n [/tex]有没有可能“追上”[tex] x_n [/tex]呢? 不妨再回到前面的那个不等式:

[tex] y_n < ({\color{red}{b + \varepsilon}} = {\color{red}{a - \varepsilon}}) < x_n [/tex]

取[tex]N=Max\{N_1, N_2\}, \varepsilon = \frac{a-b}{2} [/tex],则有:

[tex] \forall n>N, y_n < \frac{a-b}{2} < x_n[/tex]

这就意味着,从[tex]n>N[/tex]以后,所有的[tex]x_n[/tex]都大于[tex]\frac{a-b}{2}[/tex], 所有的[tex]y_n[/tex]都要小于[tex]\frac{a-b}{2}[/tex],因此从这以后[tex] y_n [/tex]就不可能再“追上”[tex] x_n [/tex]了!

最后还是回到了课本上的设 [tex] \varepsilon = \frac{a-b}{2}[/tex],但似乎也知道他为啥要这么设置了!

反过来,若已知数列[tex]\{x_n\}, \{y_n\}[/tex]极限存在,且[tex]\forall n \in \texbf{N}[/tex]有 [tex] x_n \geq y_n [/tex],则有[tex] \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \geq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n [/tex], 证明方法是一样的。考虑下面这个说明了啥?

[tex] x_n = \frac{n+1}{n}, y_n = \frac{n}{n+1} [/tex] 有:[tex] x_n \geq y_n [/tex] 但:[tex] \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 1 = \lim_{n \rightarrow \infty} y_n[/tex]

[tex] x_n = \frac{1}{n}, y_n = \frac{1}{n+1} [/tex] 有:[tex] x_n \geq y_n [/tex] 但:[tex] \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0 = \lim_{n \rightarrow \infty} y_n[/tex]

说明了啥?

感谢views63http://www.mathchina.com

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views63 说:
2010年9月27日 03:20

觉得第一步有点问题,从极限定义得出 $|x_n-a<\varepsilon|$ 是可以,但 对于相同的 $n$ 得到 $|y_n-b<\varepsilon|$ 就不明显了。

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独孤求真 说:
2010年9月27日 04:42

@views63: 这里我也考虑过,其实两个N是不一定相同的,但是[tex]\varepsilon[/tex]是一样的,也就是说,对于两个数列,都可以给一个[tex]\varepsilon[/tex]满足:
[tex] \left \vert x_n - a \right \vert < \varepsilon [/tex]
[tex] \left \vert y_n - b \right \vert < \varepsilon [/tex]
这两个N可能相等,也可能不相等。

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views63 说:
2010年9月27日 06:03

@独孤求真:
你说的这些没错,但就像你后面的证明,对于同一个 $\varepsilon|$ 取 $N=\max{N_1,N_2}$ 就可以满足 $ | x_n - a |< \varepsilon ,|y_n - b |< \varepsilon $ 感觉你绕了一个大圈子。

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独孤求真 说:
2010年9月27日 06:13

@views63: 嗯,我也感觉最后还是绕回到 \varepsilon = \frac{a-b}{2}了,但是我感觉这个圈子没白绕,因为我之前看书,总是觉得奇怪,他是怎么想到要设 \varepsilon = \frac{a-b}{2}了,经过这么一绕,我认为顺其自然的就可以想到设\varepsilon = \frac{a-b}{2}了。呵呵!谢谢!


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