已知[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} x_n = a, \lim_{n \rightarrow \infty} y_n = b[/tex], 且 [tex]a>b[/tex]， 则[tex]\exists N \in \mathbf{N}[/tex]，[tex] \forall n>N[/tex]，有[tex]x_n > y_n[/tex] 。

课本的证明又一次用选用了[tex]\varepsilon = \frac{a-b}{2}[/tex] ！虽然证明过程简单明了，还是老问题，他怎么想到选这个呢？这里就不列出课本的证明了。我的推理如下：

根据极限定义有：

[tex] \left \vert x_n - a \right \vert < \varepsilon [/tex]

[tex] \left \vert y_n - b \right \vert < \varepsilon [/tex]

注意，这里同一个[tex]\varepsilon[/tex]对[tex]a_n[/tex]对应一个[tex]N_1[/tex]，对[tex]b_n[/tex]对应一个[tex]N_2[/tex]，[tex]N_1[/tex]不一定等于[tex]N_2[/tex]。既：

[tex]{\color{red}{a - \varepsilon}} < x_n < {\color{blue}{a + \varepsilon}}[/tex]

[tex]{\color{blue}{b - \varepsilon}} < y_n < {\color{red}{b + \varepsilon}} [/tex]

由已知条件，[tex]a>b[/tex]，因此，一定可以找到一个[tex]\varepsilon > 0[/tex]使得[tex] a-\varepsilon = b+\varepsilon[/tex]成立。既：[tex] \exists \varepsilon > 0 [/tex]，有[tex] a-\varepsilon = b+\varepsilon[/tex]，可进一步推算出，在此条件下，[tex] a-b = 2\varepsilon[/tex]。

由不等式的递推关系式可进一步得到

[tex] y_n < ({\color{red}{b + \varepsilon}} = {\color{red}{a - \varepsilon}}) < x_n [/tex]

从而得到：

[tex] \exists \varepsilon[/tex]，使得 [tex] x_n > y_n [/tex]。

这就可以了吗？实则不然，命题是说[tex]\exists N \in \mathbf{N}[/tex]，[tex] \forall n>N[/tex]，有[tex]x_n > y_n[/tex] 。而到目前，我们只是证明了以下结论：

[tex] \exists \varepsilon = \frac{a-b}{2} > 0 [/tex]，[tex] \exists N_1 \in \mathbf{N},  \exists N_2 \in \mathbf{N} [/tex]，有[tex] x_n > y_n [/tex]。

但是对于[tex] n>N_1[/tex]或[tex] n>N_2[/tex]时，[tex]x_n > y_n[/tex]是不是恒成立的，则需要另作讨论。

这时我不禁想到，当[tex] n > N_n[/tex]之后，[tex] y_n [/tex]有没有可能“追上”[tex] x_n [/tex]呢？ 不妨再回到前面的那个不等式：

[tex] y_n < ({\color{red}{b + \varepsilon}} = {\color{red}{a - \varepsilon}}) < x_n [/tex]

取[tex]N=Max\{N_1, N_2\}, \varepsilon = \frac{a-b}{2} [/tex]，则有：

[tex] \forall n>N, y_n < \frac{a-b}{2} < x_n[/tex]

这就意味着，从[tex]n>N[/tex]以后，所有的[tex]x_n[/tex]都大于[tex]\frac{a-b}{2}[/tex], 所有的[tex]y_n[/tex]都要小于[tex]\frac{a-b}{2}[/tex]，因此从这以后[tex] y_n [/tex]就不可能再“追上”[tex] x_n [/tex]了！

最后还是回到了课本上的设 [tex] \varepsilon = \frac{a-b}{2}[/tex]，但似乎也知道他为啥要这么设置了！

反过来，若已知数列[tex]\{x_n\}, \{y_n\}[/tex]极限存在，且[tex]\forall n \in \texbf{N}[/tex]有 [tex] x_n \geq y_n [/tex]，则有[tex] \lim_{n \rightarrow \infty} x_n \geq \lim_{n \rightarrow \infty} y_n [/tex], 证明方法是一样的。考虑下面这个说明了啥？

[tex] x_n = \frac{n+1}{n}, y_n = \frac{n}{n+1} [/tex] 有：[tex] x_n \geq y_n [/tex] 但：[tex] \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 1 = \lim_{n \rightarrow \infty} y_n[/tex]

[tex] x_n = \frac{1}{n}, y_n = \frac{1}{n+1} [/tex] 有：[tex] x_n \geq y_n [/tex] 但：[tex] \lim_{n \rightarrow \infty} x_n = 0 = \lim_{n \rightarrow \infty} y_n[/tex]

说明了啥？

感谢views63及http://www.mathchina.com