关于垛积术的疑惑

独孤求真 posted @ 2010年10月02日 06:57 in 数学学习 , 2669 阅读

这是由于在做一道求极限的运算题引发的,原题要用到求我记得以前学过这个,但那时没有认真对待数学。因此上网查了一下发现要用到这个公式在网上看了用数学归纳法的证明,知道这个结果的前提下,再用数学归纳法证明是很简单的事情。可是问题是,在看到这个结果之前,他怎么想到这个规律呢?带着这个疑问,我在网上搜了一下。原来我国古代很早就研究过这一类问题,还包括:, 并总结出了这样的公式。真是厉害啊。他们都用到了叫“垛积术”的方法。目前我没有找到详细的资料,还没有想明白。希望有知道的朋友能介绍点资料。

我看到其中一个思路如下:

[tex] \begin{bmatrix} &n &n& n& n&n\\ & n-1& n-1&n-1 &n-1 \\ &...&...&...&...&... \\ &2& 2& & & \\ &1& && \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} n& n-1& ...& 2&1\\ n& n-1&... &2& \\ ...&...&...&\\ n& n-1& & \\ n& & & \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1& 2& ...&n-1&n\\ 2& 3&... &n& \\ ...&...&...&\\ n-1& n& & \\ n& & & \end{bmatrix} [/tex]

这样,就形成一个等差数列了。

[tex] \begin{bmatrix}
&2n+1 &2n+1&  2n+1& 2n+1&2n+1\\
&2n+1&2n+1&2n+1  & \\
&...&...& & &  \\
&2n+1& 2n+1&  & & \\
&2n+1&  &&
\end{bmatrix} [/tex]

用等差数列求和公式可得:

[tex]3\sum\limits_{k=1}^n K^2 = (2n+1)\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)[/tex]

从而有:

[tex]\sum\limits_{k=1}^n K^2 = (2n+1)\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)[/tex]

结合垛积术,相当于这里有3堆,先求3堆的总和,然后再除以3,得到结果。我画出了当n=4时,第一堆和第而堆。第三堆,应该是变形才能画出来,图形如下:

可能我的理解有误吧,写出来的目的是希望能有高手指点,或者能有人告诉我,哪里能找到垛积术的详细资料。谢谢!

Avatar_small
views63 说:
2010年10月02日 11:17

垛积术
http://www.docin.com/p-35645312.html

高一那会儿我也很迷这个,还专门找了本讲递归数列(好像说差分方程也可以)的来看,现在对这些不是很感兴趣了。对于这个我更愿意直接解差分方程,或者用 Abel分部求和法把它变成两个低阶的等差数列来求解。

Avatar_small
独孤求真 说:
2010年10月02日 16:00

@views63: 嗯,你给的那个文章我也看了下,不过讲的不够详细。可惜你后面说的解差分方程和Abel分部求和法,我都不会,也是数学分析里面的内容吗?希望以后能学上!我还很希望看看古人如何用这种堆垛变换的方法求出这一类问题的解的。有了结论,我都想象不出来,而人家是没有结论,确推理出来了。
开始我以为自己空间想象能力不足,于是借助于Asymptote把3D图画出来,还是想像不出。呵呵!

Avatar_small
views63 说:
2010年10月02日 16:37

Abel 分部求和法在讲 Abel 变换的时候会提到,是数学分析里面的,其实在高中的数学参考书上就有。
http://zh.wikipedia.org/zh-sg/%E5%88%86%E9%83%A8%E6%B1%82%E5%92%8C%E6%B3%95

差分方程,部分常微分方程的书会提到,也算是分析方面的
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%81%9E%E8%BF%B4%E9%97%9C%E4%BF%82%E5%BC%8F

其实这些你如果有兴趣都可以直接去查一下的。

对古代的数学很敬佩,但没多少兴趣,就像对珠算。

Avatar_small
views63 说:
2010年10月02日 17:19

或许你还可以看这个
http://www.math.sinica.edu.tw/math_media/d312/31207.pdf
实在有兴趣就去看 朱世杰原著 李兆华校正 《四元玉鉴》 科学出版社 2007 ISBN978-7-03-020112-6

Avatar_small
独孤求真 说:
2010年10月03日 06:25

@views63: 嗯,多谢啊,我先看看这个PDF文件。至于你说的Abel 变换以及差分方程什么的,我还是慢慢来吧。先从极限,求导开始。呵呵!


登录 *


loading captcha image...
(输入验证码)
or Ctrl+Enter