极限唯一性

独孤求真 posted @ 2010年9月26日 04:36 in 数学学习 with tags 极限;极限唯一;d/2 , 3515 阅读

若数列[tex]\left \{ x_n \right \}[/tex]的极限存在,则极限值是唯一的。

看了很多数学教材,证明过程都选取了一个[tex] \left \vert a-b \right \vert = \frac{d}{2}[/tex],证明过程虽然简洁明了,而取[tex] \left \vert a-b \right \vert [/tex]也是很容易想到的,但他是怎么想到了个[tex]\frac{d}{2}[/tex]呢?这先给出课本的证明过程,后面是我的推理过程!

设数列[tex]\left \{ x_n \right \}[/tex] 有两个不相等的极限值[tex]a[/tex]、[tex]b[/tex],[tex]a \neq b[/tex],则有[tex] d = \left \vert a-b \right \vert > 0[/tex],总可以找到一个正整数[tex]\mathbf{N}[/tex],当[tex]n>\mathbf{N}[/tex]时,总满足下列不等式:

[tex]\left \vert x_n - a \right \vert < \frac{d}{2}[/tex]

[tex]\left \vert x_n - b \right \vert < \frac{d}{2}[/tex]

另一方面有:

[tex] \left \vert a - b \right \vert = \left \vert a - x_n + x_n - b \right \vert = \left \vert (x_n - a)  - (x_n - b) \right \vert [/tex]

由代数的不等式公式可得:

[tex] \left \vert (x_n - a)  - (x_n - b) \right \vert \leq \left \vert (x_n - a) \right \vert +  \left \vert (x_n - b) \right \vert = d[/tex]

即有

[tex] \left \vert a - b \right \vert  < d [/tex]

这于假设[tex] d = \left \vert a-b \right \vert > 0[/tex]矛盾,因此极限唯一。

证明过程很简洁明了,可问题是,他怎么就想到在这里,选[tex]\varepsilon = \frac{d}{2}[/tex]呢?这对我来说,总有一种感觉,就是看了别人的能看懂,但是换做自己,则想不到。因此我按我的理解,证明了一下,过程如下:

对于同一个[tex]\varepsilon[/tex],分别有[tex]n1, n2[/tex]根据极限定义有:

[tex]\left \vert x_{n1} - a \right \vert <\varepsilon [/tex]

[tex]\left \vert x_{n1} - b \right \vert < \varepsilon [/tex]

这里n1不一定等于n2,但是根据极限定义,我们取n=Max(n1, n2),从而有:

[tex]{\color{red}{a - \varepsilon}} < x_n < {\color{blue}{a + \varepsilon}}[/tex]

[tex]{\color{blue}{b - \varepsilon}} < x_n < {\color{red}{b + \varepsilon}} [/tex]

由于[tex] a \neq b[/tex],无非有两种情况,[tex] a>b[/tex] 或者 [tex]a<b[/tex],对于[tex] a>b[/tex],由于在极限定义中,[tex]\varepsilon[/tex]是可以任意选取的大于0的数,因此总可以找到一个[tex]\varepsilon[/tex]满足以下条件:

[tex]{\color{red}{a - \varepsilon}} =  {\color{red}{b + \varepsilon}}[/tex]

由不等式递推,可得:

[tex]{x_n < (\color{red}{b + \varepsilon}} = {\color{red}{a - \varepsilon}}) < {\color{blue}{x_n}}  [/tex]

既得到,[tex] x_n < x_n [/tex],这显然是不可能的,因为对任意自然数[tex]\mathbf{N}[/tex],都有[tex] x_n = x_n [/tex]。

同理对于[tex] a<b[/tex]的情况,总可以找到一个[tex]\varepsilon>0[/tex]满足以下条件:

[tex]{\color{blue}{b - \varepsilon}} =  {\color{blue}{a + \varepsilon}}[/tex]

也得到,[tex] x_n < x_n [/tex]的结论。因此无论[tex]a<b[/tex]还是[tex]a>[/tex]的情况,都可以找到一个反例子。所以假设不成立。推理到这里,我终于理解课本要选取[tex]\varepsilon = \frac{d}{2}[/tex]了。

我的推理过程应该也没有漏洞吧,:)

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views63 说:
2010年9月27日 20:26

你是自学?是看高数还是数分?给你个建议最好不要用颜色来表示区别(如倒数的第二个行间公式),不然很容易出现你后面忘记标注颜色的情形,而且这样做有点混乱。可以使用 $x_{n1},x_{n2}$ 这样的(书上不就是用这种方式吗?)

而为什么要设 $\varepsilon=d/2$ 说白了因为如果数列有极限,那么除了有限项外都应在其极限的邻域内,假设两个有极限,则总能找到一个 $N$ 使得 $\forall n>N$ 都有 $x_n$ 既在 $a$ 的邻域内,又在 $b$ 的邻域内,缩小邻域(使 $\varepdilon <d/2$),就能发现明显的矛盾,所以你设成 $\varepsilon=d/3$ 也是可以的。

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Garfileo 说:
2010年9月28日 03:29

@views63: 又找到有网络共同语言的人了 :)

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独孤求真 说:
2010年9月28日 03:52

@views63: 嗯,根据你的建议,我改成n1, n2了。不等式两边的颜色就留着吧。以后不用颜色来区分了。呵呵!
以前大学学过,但是基本是考试前死背公式混过的。现在实际中的很多资料讲傅立叶变换啊,卷积啊等的。看不懂,所以自己又来看看了,悔不当初啊!我看的是高等教育出版社的高等数学!
其实我后来也理解了$varepsilon=\frac{d}{2}$是任意选的,取$varepsilon=\frac{d}{4}$,主要是,刚开始,我看懂了书上的证明,但是觉得他怎么想到了取个$varepsilon=\frac{d}{2}$,于是就自己分析了下,可能会的人看了觉得画蛇添足吧,但认知总是从深入浅的。谢谢指教!:)

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独孤求真 说:
2010年9月28日 06:07

@Garfileo: 握个手!:)

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views63 说:
2010年9月29日 19:05

@Garfileo: 这次又让你看到了:) 才下想起来上次 cloudly 那边就被你看到了。诚如你所说的,没的讨论。在网上能说的只是一点点(水平不够,也没那个耐心,自己又懒,打字都不想打)。还是面对面拿着笔、纸比划说问题更好。

@独孤求真:原来你已经毕业了。考试前死背公式混过,我也不少,如模糊数学、运筹学。想更详细/清楚了解分析,还是看数学分析吧,至于这方面的书,网上有个数学专业参考书整理(http://www.bossh.net/viewthread.php?tid=3028 这里就有)可以参考一下。

好为人师确实是很不好的,何况自己也是很差的。从你上面文章看觉得你绕了一圈还是说得不太清楚,我就有点急了。我这人说话很直接,语言上如有冒犯的地方还请见谅。

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独孤求真 说:
2010年9月29日 20:56

@views63: 有个热心的人讨论,我觉得很好啊!就像你说的,可惜就是网上写数学表达式不太方便。数学分析,我也打算看呢?因为前不久我在一本北大数学分析的课本,上册中看到其中一节《开普勒行星运动定律与牛顿万有引力定律》,介绍了在开普勒行星运行规律的基础上推导出了万有引力公式。
虽然我没看懂,但是我记得上高中时,学到物理中的万有引力公式,我始终觉得,太神奇了,牛顿怎么想到这个公式的呀?在地球上,他根本没办法用任何实验来总结计算啊。到此,原来他不是在地球上做了什么实验,或者凭空想出来的。
看到这,我还是觉得很震惊的!没有学好数学的遗憾又随之增加了。
没有啥冒犯不冒犯的,你的数学很好,至少比我好,呵呵!我很羡慕,也很热心,希望有机会能像你学习。


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